Plus précisément :
Les catégories de foncteurs depuis une petite catégorie vers une catégorie de modules sont au cœur de tous mes travaux. Elles forment des catégories abéliennes aux bonnes propriétés (catégories de Grothendieck avec assez de projectifs) dont l'étude homologique ou structurale (étude des objets simples, des propriétés de finitude, de la filtration de Krull etc.) s'avère particulièrement riche dans de nombreuses situations. La situation à laquelle je m'intéresse le plus est celle où la catégorie source est additive. Elle donne lieu notamment à une notion de foncteur polynomial (cf. infra) aux nombreuses apparitions en topologie algébrique et dont T. Pirashvili a contribué de façon majeure à la compréhension.
Dans ma publication n°14, avec A. Touzé et C. Vespa, nous nous intéressons à la classification des foncteurs simples depuis une petite catégorie additive vers la catégorie des espaces vectoriels de dimension finie sur un corps fixé. Nous donnons des applications à des propriétés de finitude de foncteurs et à la théorie des représentations des groupes ou monoïdes linéaires. Ce travail dégage également la notion de foncteur antipolynomial, étudiée dans ma publication n°18, avec Thomas Gaujal.
La notion classique remonte à Eilenberg-Mac Lane (Annals of Math. 1954) et s'étend immédiatement au cas des foncteurs d'une source monoïdale (en général symétrique) dont l'unité est objet nul vers un but abélien. Les motivations, nombreuses, à étudier ces foncteurs sont notamment celles présentées au paragraphe précédent ; d'autres viennent de la théorie des représentations.
Dans ma prépublication n°17, avec A. Touzé, nous étudions des propriétés de finitude (notamment la propriété noethérienne) de foncteurs polynomiaux depuis une catégorie additive vers une catégorie de modules.
Dans un travail avec C. Vespa, nous définissons et étudions les foncteurs polynomiaux depuis une petite catégorie monoïdale symétrique dont l'unité est objet initial vers une catégorie abélienne ; j'en montre également quelques propriétés de finitude (cf. publications n°8 et 9). Un survol en anglais en deux pages de certains de ces résultats et définitions est disponible dans ce rapport d'Oberwolfach. Ma prépublication n°13 donne une motivation importante à l'étude de cette notion.
Une autre question naturelle sur les foncteurs polynomiaux (dans le cas classique, déjà) est la comparaison des groupes d'extensions entre deux foncteurs polynomiaux dans la catégorie des foncteurs polynomiaux de degré fixé et dans la catégorie de tous les foncteurs. Dans le cas d'une catégorie source additive, ma publication n°10, qui prolonge un travail de T. Pirashvili, donne une réponse assez complète. La situation est plus simple avec la catégorie source des groupes libres de rang fini, où les groupes d'extensions sont toujours les mêmes dans les deux catégories, voir ma publication n°11 avec T. Pirashvili et C. Vespa.
Voir la page dédiée à mes publications (n°4, 5, 7, 12 et 13) pour plus de détails. Mes notes de cours à l'école de printemps sur l'homologie des foncteurs d'avril 2012 présentent également une partie de ces résultats. Un survol en anglais en trois pages de ma publication n°4 avec Christine Vespa est disponible dans ce rapport d'Oberwolfach.
Pour une introduction générale au sujet, voir par exemple mes notes d'exposé de groupe de travail. Voir aussi ma publication n°6, avec G. Collinet et J. Griffin, ou le survol en anglais qu'en donnent ces notes d'exposé.
Un article d'O. Randal-Williams et N. Wahl paru en 2017 aux Advances in Mathematics donne un cadre fonctoriel très général (inspiré de ma publication n°4 avec C. Vespa) pour traiter de la stabilité homologique (y compris à coefficients tordus polynomiaux) de familles de groupes discrets.
C'est un rêve, qui semble actuellement hors de portée, que l'homologie des foncteurs puisse contribuer à la détermination de groupes d'homologie de groupes de Lie rendus discrets apparaissant dans les généralisations du troisième problème de Hilbert.
Un autre rêve, peut-être plus accessible, consiste à utiliser l'homologie des foncteurs pour démontrer des résultats de comparaison pour l'homologie stable à coefficients constants de groupes de Lie rendus discrets.
Les catégories de Grothendieck (catégories abéliennes cocomplètes, aux colimites filtrantes exactes et possédant un générateur) constituent un objet central en algèbre homologique et en théorie des représentations. De nombreuses constructions ou notions générales dans ce cadre jouent un rôle important dans l'étude des catégories de foncteurs, comme celles de catégorie quotient (par une sous-catégorie épaisse), de recollement ou de plongement homologique.
La notion de produit tensoriel de catégories de Grothendieck, introduite récemment par W. Lowen, J. Ramos González et B. Shoikhet (IMRN 2018) constitue un cadre conceptuel très naturel pour étudier certaines propriétés qui apparaissent de façon récurrente dans les catégories de foncteurs.